viernes, 28 de junio de 2013

Como usar las tablas de logaritmos y antilogaritmos comunes

Este artículo de como usar las tablas de logaritmos y antilogaritmos comunes es eminentemente práctico y sin usar calculadora. Desarrollaremos el mecanismo de obtener estos valores mediante varios ejemplos representativos. Mientras que en el artículo Aplicaciones de los logaritmos comunes abordamos las propiedades de los logaritmos y como se utilizan para calcular el producto, cociente, potencia y raices de cantidades y relizamos varios ejemplos de uso.

Los logaritmos son el resultado de las brillantes investigaciones de John Napier (1550-1617) y Henry Briggs (1561-1630) que permitieron que las operaciones de multiplicación, division, potenciación y raíces se resolvieran usando las operaciones básicas se suma y resta y división (para las raíces de cualquier potencia). Actualmente, los algoritmos son obsoletos para estos fines debido a la calculadora electrónica, pero su interés teórico es fascinante.

Usaremos los algoritmos de base 10, mejor conocidos como: Logaritmos Comunes o de Briggs.

Temas tratados en este artículo:

  • Tema 1Conceptos Básicos.

  • Tema 2. Uso de la Tabla de Logaritmos y ejemplos.

  • Tema 3. Uso de la Tabla de Antilogaritmos y ejemplos.

  • Tema 4. Tablas de Logaritmos.

  • Tema 5. Tablas de Antilogaritmos.

  • Tema 6. Notas Adicionales.


Tema 1.


Conceptos Básicos de Logaritmos


Antes de entrar en materia resolviendo problemas con tablas de logaritmos y antilogaritmos, necesitamos explicar algunos conceptos que nos servirán más delante, asi que aconsejo al lector que los lea antes.

Vamos a comenzar con el uso de la tabla de Logaritmos, y posteriormente haremos lo propio para los Antilogaritmos.

El logaritmo de un número está formado por dos partes bien definidas. La parte entera se llama Característica; y la parte decimal  Mantisa.
Caracteristica.Mantisa

Ejemplo:  log 25 = 1.3979

El logaritmo de 25 es: 1.3979, donde 1 es la característica y .3979 la mantisa.

Para obtener el logaritmo de un número usando la tabla de logaritmos, debemos obtener por inspección la característica basándonos en el número dado. La mantisa se obtiene mediante las tablas.

La característica


Para obtener la característica distinguimos tres casos:

  • CASO 1) El número es igual a 1. El logaritmo de 1 es cero. Este valor es inmediato.

  • CASO 2) El número es mayor que 1.
    Para encontrar la característica del logaritmo de un número mayor que 1, se resta una unidad al número de cifras de su parte entera.
    Ejemplos: Sean los números: 5, 23, 276 y 43.12.
    Así, :
    a) La característica de 5 es: 1-1 = 0
    b) La característica de 23 es: 2-1 = 1
    c) La característica de 276 es: 3-1 = 2d) La característica de 43.12 es: 2-1 = 1

  • CASO 3) El número dado esta entre cero y uno.
    Para halla la característica, se suma la unidad al números de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa. Dicha característica es negativa.
    Ejemplos: Sean los números: 0.23, 0.012 y 0.0045
    Así,
    d) La característica de 0.23 es: -(0+1) = -1
    e) La característica de 0.012 es: -(1+1) = -2
    f) La característica de 0.0045 es: -(2+1) = -3

Nota: Se acostumbra colocar una pequeña barra encima de la característica, en lugar de usar el signo negativo. La explicación de esta sutileza nos podría desviar del tema, al final en las Notas Finales, el lector encontrará más información.

Por lo tanto, si para tres números distintos obtuvimos las características: -1, -2 y -3 respectivamente. La nomenclatura que usaremos será:


La Mantisa


La mantisa del algoritmo de un número sera la parte decimal y esta se calculará por medio de las tablas de logaritmos (Tabla 1. y Tabla 2.) .

Para su uso, tendremos en cuenta la siguiente Regla:

Si el número dado consta de menos de tres cifras, debemos completar con ceros a la derecha hasta que se forme un número de tres cifras significativas, esto incluye los ceros.[/contentbox]

Ejemplos:

  • Para 5, el número formado es: 500.

  • Para 0.01, el número formado es: 100 (se considera  1 sin tomar en cuenta que es parte decimal).

  • Para 23, el número formado es : 230.

  • Para 0.045, el número formado es: 450

[contentbox headline="Regla II. Para hallar la Mantisa." type="info"]

  • Si el número formado consta de tres cifras: Las dos primeras cifras se buscan en la fila y la última en la columna, la cantidad de intercepción será la Mantisa.

  • Si el número formado consta de 4 cifras. Las dos primeras cifras se buscan en la fila y la última en la columna, la cantidad de intercepción será la Mantisa. La cuarta cifra de busca en la columan de las Partes Proporcionales (P.P)  intercepción con la misma fila usada anteriormente.


Ahora estamos preparados para encontrar el logaritmo de un número, pongamos mucha atención en como separamos el número formado, en fila, columna y si lo tiene, en Parte Proporcional (P.P.).

Tema 2.


Uso de la Tabla de Logaritmos y ejemplos


Para resolver estos ejercicios hacemos uso de las tablas de logaritmos al final del articulo.

Ejemplo 1. Calcular el logaritmo de 7


Paso 1. La característica sera: 1-1 = 0
Paso 2. Hallar la Mantisa. Para encontrar la mantisa en tabla, por la Regla I, el 7 se convierte en : 700
Por la Regla II, separamos las dos primeras cifras más a la derecha: 70, y la última que es 0.

Fila: 70
Columna: 0

Se busca en la tabla de logarimos el número que este en la intercepción de la fila N=70 y la columna con valor 0, el resultado es: 8451.

Por lo tanto, log 7 = (característica).(mantisa) = 0.8451

Estudia detenidamente el ejemplo 1, hasta que resulten claros los pasos involucrados, pues a partir de ahora resumiremos los pasos.


Ejemplo 2. Encontrar el logaritmo de 0.8


Paso 1. Característica: -(0+1) = -1
Paso 2. Hallar la Mantisa:
Por la Regla I, 8 se transforma en un número de tres cifras: 800
Fila: 80
Columna: 0
De la tabla de logaritmos obtenemos la mantisa: 9031

Por lo tanto,




Ejemplo 3. Obtener el logaritmo de 42


Paso 1. Característica: 2-1= 1
Paso 2. Hallar la Mantisa:
Por la Regla I, el número formado es: 420

Fila: 42
Columna: 0

Por tablas, la mantisa es: 6232

Por lo tanto, log 42 = 1.6232


Ejemplo 4: Encontrar el logaritmo de 734


Paso 1. Característica: 3-1= 2
Paso 2. Hallar la Mantisa: El número formado es: 734

Fila: 73
Columna: 4
Buscando en tablas, Mantisa: 8657

Por lo tanto, log 734 = 2.8657


Uso de Partes Proporcionales (P.P.)


Las tablas de logaritmos se estudian para cubrir el programa de logaritmos del curso de matemáticas básicas; dichas tablas sólo cubren los logaritmos para números de hasta 4 cifras.

Las partes propocionales se usan cuando tenemos un número de 4 cifras. Para números con más de cuatro cifras se han elaborado tablas más exactas a través de los siglos, ya que eran indispensables antes que las calculadoras electrónicas las conviertieran en obsoletas. Para un curso de matemáticas basta conocer su uso sin necesidad de mayor precisión.

Si observas las tablas de logaritmos Tabla 1 y Tabla 2., tenemos al final a la derecha de cada tabla nueve columnas numeradas del 1 al 9 llamadas Partes Proporcionales (P.P.). Esta cifra va a sumarle una cantidad a la mantisa, de tal suerte que aproxima el resultado con un pequeño margen de error.




Ejemplo 5. Obtener el logaritmo de 4653


Paso 1. Característica: 4-1 = 3

Paso 2. Hallar la Mantisa: Como el número formado 4653 es mayor a tres cifras emplearemos 46 para la fila, el 5 para la columna y 3 como la P.P.

Fila: 46
Columna: 5
Columna para P.P: 3

Obtenemos de la tabla: 6675
Sumar la P.P(3) = 3



Por lo tanto, log 4653 = 3.6678


Ejemplo 6. Obtener el logaritmo de 24.12


Paso 1. Característica: 2-1 = 1

Paso 2. Hallar la Mantisa:
El número formado es: 2412

Fila: 24
Columna: 1
P.P: 2
La mantisa buscada en la tabla: 3820
Parte Proporcional de 2: P.P(2) = 4



Por lo tanto, log 24.12 = 1.3824




Tema 3.


Uso de la Tabla de Antilogaritmos y ejemplos


Para resolver estos ejercicios hacemos uso de las tablas de antilogaritmos al final del articulo

Ahora procederemos a la inversa. Dado un logaritmo, vamos a encontrar al número que lo originó.
Es decir, el Antilogaritmo de un número es el número correspondiente a dicho número. Se representa como antilog N, donde N es un número.



[contentbox headline="Regla III" type="info"] La característica de un logaritmo nos permite determinar el número de cifras de la parte entera. Sumaremos la unidad al entero de dicho logaritmos.[/contentbox]

NOTA: Cuando la característica del algoritmo sea un entero con una barra superior, asumimos que se trata de un algoritmo de un número entre  1 y 0. Por lo que aqui no hacemos nada, excepto saber en que posición decimal comienza la mantisa. Lo veremos en el ejemplo 8 con más claridad.

Vamos a encontrar el antilogaritmo los ejemplos 1, 2 y 6, dejamos la obtención del antilogaritmos de los ejemplos 3, 4 y 5 como ejercicio al lector.

Ejemplo 7. Encontrar el antilogaritmo de 0.8451, es decir antilog 0.8451


Paso 1. Por la Regla III, 0+1= 1

Este 1 resultante, significa que el antilogaritmo tiene una cifra en su parte entera.
Paso 2. Hallar la Mantisa:
Con la cantidad de .8451 buscamos en la tabla de antilogaritmos:
Fila: .84
Columna: 5
P.P de 1



Por el Paso 1, el número original consta de una única cifra, por lo tanto, antilog 0.8451 = 7


Ejemplo 8. Encontrar




Paso 1. La característica 1 con la barra invertida indica que el número es decimal, y que la primera cifra significativa ocupa el  primer lugar, es decir, es de la forma 0.mantisa.

Paso 2. Hallar la Mantisa.
Vamos a buscar en la tabla de antilogaritmos: .9031

Fila: .90
Columna: 3
P.P de 1




Ejemplo 9. Encontrar el antilogaritmo de 1.3824


Paso 1. Por la Regla III, 1+1 = 2
Por lo tanto, el antilogaritmos consta de dos números enteros en su resultado.

Paso 2. Hallar la Mantisa:
Hacemos uso del número .3824
Fila: .38
Columna: 2
P.P.(4)


Por el Paso 1, sabemos que el antilogaritmo debe tener dos cifras enteras, tenemos que :  antilog 1.3824 = 24.12




Las tabla de Logaritmos N=99 y Antilogaritmos M= .99


Estas son las tablas que hemos usado en estos ejercicios.

Tema 4.


Tablas de Logaritmos


 







Tema 5.


Tablas de Antilogaritmos


Antilogaritmos Tabla 3. y Tabla 4.









Tema 6.


Notas Adicionales.


Nota 1. Los números entre 0 y 1, arrojan un logaritmo distinto en tablas y calculadora.


Así, en el ejemplo 2 de los problemas prácticos obteníamos por tablas:



Pero si usamos una calculadora electrónica el resultado es: -0.0969

¿Cuál valor es el correcto?

La respuesta es que ambos son correctos. Cuando se escribe un logaritmo con característica negativa, el signo menos se coloca encima de la característica y no delante de ella, esto es porque de esta manera afectaría a todo el logaritmo y debemos recordar que las mantisas son positivas.

Para expresar los logaritmos de la manera “correcta” como se representa en la calculadora electrónica, se hace lo siguiente. Esto lo haremos para todos los ejercicios donde se calcula el logaritmo de un número entre 0 y 1:
Sumamos la característica negativa a la mantisa que es positiva.

En el caso de



Se convierte en:  (-1+0.9031) = -.0930



Por lo tanto, log 0.08 = -0.0969

Nota 2. La gráfica del logaritmo de base 10.


Los logaritmos están basados en las propiedades de los exponentes y potencias.

En general:



Si usamos b=10, estamos empleando la base decimal, y se dice que son logaritmos comunes o de Briggs. Entonces,



Si trazamos la grafica de y=log(x) obtenemos lo siguiente



Gracias a la gráfica de y=log(x) podemos deducir que:

  • Los logaritmos de x igual o mayores de 1 son positivos.

  • Para x  entre 0 y 1 los logaritmos son negativos.

  • El logaritmo de 1 es cero.

  • Sólo los números positivos mayores a cero tienen logaritmos, y el logaritmos de cero es indefinido pues el valor de y tiende a menos infinito cuando nos aproximamos a cero por la derecha.

1 comentario:

Nota: solo los miembros de este blog pueden publicar comentarios.